Deduktionssysteme 에 관한 이야기
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작성자 길벗쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 댓글 6건 조회 797회 작성일 15-07-29 18:26본문
연산 그러면 떠 오르는 것은 우리가 쓰는 계산기, 원리는 똑 같은 우리의 Universelle Turingmachine, 즉 컴퓨터입니다. 연역시스템 (Deduktionssysteme) 은 컴퓨터공학의, 더 자세히 말하면 computerlinguistik 과 Kuenstliche Intelligenz 의 최종목표였었지요.
나무라는 개념을 벤 다이어그램으로 구획, 경계지으려면 참으로 많은 노력이 필요하고 또 그렇게 할 수도 없을 겁니다. 나무와 나무 아닌 것 사이의 회색지대라고나 할까요. 이미 언급된 XX 와 XY 사이혹은 그 범위밖의 XXY 혹은 XYY 처럼 경계의 모호함이 종종 드러납니다.
20세기 이전의 칸트가 말한 선험, a priori 는 시간과 공간은 변할 수 없는 절대 공간과 인과가 바뀔 수 없는 한 방향의 시간에서, 그 튼튼한 배경에서 나왔습니다. 그 이후에 우리의 공간과 시간과 변할 수 없는 에너지, 물질은 절대적인 것들이 아니라고 밝혀졌지요.
논리에서도 마찬가지입니다. 연역시스템은 반박해서도 반박할 수 없는 공리에서 시작한 강력한 이론 (Theorie)에서 법칙 (Gesetz)으로 또 법칙에서 항목 (Protokollaussage) 으로 우리의 일상생활과 생각을 찾아내거나 간섭할 수 있게 됩니다.
예를 들어말하면 사기꾼이나 범죄자들과 공범들의 진술만으로 그 사기꾼이 사기를 친 것인지 범죄가 어떻게 이루어지고 누가 유죄이고 누가 무죄인지를 연산할 수 있다는 뜻입니다. 아주 강력한 통제수단인 동시에 과학적 발전의 토대가 될 수 있습니다.
그러나 그 경계의 회색지대와 언어 진술 자체의 모호성 (Ambiguitaet) 때문에 정형화(formal)할 수 없었습니다. 강력한 연역시스템, 그러니까 강력한(?) 이라는 관형어를 쓸 수 밖에 없는 연역시스템을 만들기에도 어려워지게 되었습니다. 이건 Goedel 벌써 안된다고 정리해 놓은 겁니다.
벤 다이어그램으로 나눌만큼의 논리는 계층적으로 나눴다면 하층에 속한 것이라고 볼 수 있습니다. 논리라는 것은 우리가 생각하는 것보다 훨씬 불완전하고 유약합니다.
복잡하고 알기어렵고 긴 글 제가 싫어하는데 쓰다보니 그렇게 된 것 같군요. 가끔은 한 번 이럴 수도 있지 그렇게 생각하렵니다.
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댓글목록
하품마렵다님의 댓글
하품마렵다쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일
전문가가 계셨네요!
그 괴델의 불완전성 정리 말인데요, 저는 야매로 배운 탓에 그거랑 포퍼의 Verifizierbarkeit 얘기에서 나오는 과학 이론이 사실상 같은건지 아니면 다른건지 잘 모르겠습니다. 포퍼의 정리에서 과학적 명제는 언제나 완전무결하지 못한, 증명 불가능한 하나의 전제 위에 설 수밖에 없기 때문에, 이론의 기초가 되는 부분에 이 구멍(반증가능성)이 없는 이론은 종교라고 하는데, 괴델도 무모순인 논리 체계가 있다면 그 체계 안에는 참으로 상정되었지만 증명은 불가능한 명제가 존재한다고 하는데, 이 두가지가 비슷해 보여서요. 제가 뭔가 처음부터 잘못 이해하고 있는 건가요, 아니면 실제로 그 두 개가 비슷한 얘긴가요?
길벗님의 댓글의 댓글
길벗쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일
화두를 하나 드리겠습니다.
수학에서 공리는 아주 중요합니다. 공리(AXIOM) 는 반박하거나 증명할 수 없습니다.
공리 1:
"이 AXIOM 은 반박할 수 있다"
끝.
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- 추천 1
팬교주님의 댓글의 댓글
팬교주쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일
이거 재미있네요.
법칙 : 예외없는 법칙은 없다.
분명히 저도 포퍼의 열린사회를 읽었고 앙자혁명 얘기도 기억이 나고... 그런데 사실은 기억이 안납니다. 역시 공부는 꾸준히 해야... 며칠간 두 분의 글을 보면서 전에 읽었던 내용을 돌이켜보려 했는데 결국 거의 실패.조용히 추천만 하고 인사를 드리기로.^^
길벗님의 댓글
길벗쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일
반증을 들고 나온 포퍼는 양자혁명 시기에 성년이 되었습니다. 물론 과학사에서 꽤 많은 비중을 차지하는 포퍼지만 반증의 과학보다는 과학은 추측과 논박을 통해서 진행된다고 후에 기술했습니다. 반증으로 이론의 성립이 결정된다면 현재의 과학은 성립될 수 없었겠지요. 그보다는 쿤의 패러다임과 패러다임 전환 그리고 최근의 메타 패러다임이 설득력이 있습니다.
위 언급하신 "종교" 라는 것은 믿음에 기반을 뒀는데, 이런 말이 있습니다.
"Wer nichts weiss, muss alles glauben."
반증가능성이 없는 이론은 종교라는 말은 '그 이론을 모른다' 라는 고백입니다.
Mathematische Logik 에서는 포퍼의 Verifizierbarkeit는 언급이 되지 않습니다.
각설하고, 괴델의 정리에서 어떤 계가 무모순이면 그 안에서 표현 가능한 참이면서 증명 불가능한 명제가 존재한다고 말합니다. 증명하는 방식은 화이트헤드와 러셀에 의해 쓰여진 수학원리의 기호들에게 괴델수를 붙여서 증명합니다.
좀 더 실제적으로 들어가보면,
괴델의 Unvollstaendigkeitssatz 는 Syntaktisch 로 Ableitbar (도출) 할 수 있으면 semantisch (의미?) 상으로 따를 수 있다. 그 역으로도 성립되면 연산으로서 완전하다고 할 수 있습니다만, 앞서 말한 괴델의 Unvollstaendigkeitssatz 에 의하면 계층상 어느 단계이상으론 가능하지 않다고 해놨습니다.
Formalisierung 서부터 삐꺽거리는데, 하물며 어떤 계가 무모순이어도 증명 불가능한 명제가 존재한다가 증명됩니다, 다시 말하면 '기호를 다루는, 그래봐야 우리가 말하는 Turingmaschine 에서는 0과 1로 표시되지만, 컴퓨터에서 어떤 문장을 연산하면 의미적으로 통한다', 또 '그 역으로도 가능하다'는 되지 않는다, 즉, 더 간단하게 말하면 연역적 시스템은 가능하지 않다라고 하는 의미입니다.
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하품마렵다님의 댓글의 댓글
하품마렵다쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일
무슨 이야기인지 잘 모르겠네요.. 던져주신 화두도 뭘 어떻게 하라고 주신 건지 잘 모르겠어요 ^^;
그래도 답변에 감사드립니다.
길벗님의 댓글
길벗쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일
"괴델도 무모순인 논리 체계가 있다면 그 체계 안에는 참으로 상정되었지만 증명은 불가능한 명제가 존재한다고 하는데"
저 화두는 괴델이 증명한 방법이어서 잘생각해보시라는 뜻이었습니다 (질문에 대한 직답이었죠).
참이면 동시에 참이 아니게 되는, 그래서 수학적인 방법에서는 수열로 표시를 할 수도 있죠 (다른 자세한 조건은 다 제외합니다.)
참과 모순이 명멸하는 모습을 수열 S 로 상정하자면 참은 1 부는 -1
S = 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 .....
로 말할 수 있습니다. 그런데 S 가 유한할 경우 언젠가는 명료하게 참인 1로 끝나거나 부인 0 으로 끝납니다.
그런데 S 가 무한일 경우, 이 경우는 무한의 경우에 속하겠죠,
S = 1 - ( 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 ..... ) 에서
S = 1 - S
2S = 1
S = 1/2 이 됩니다.
1/2 인 상태, 그러니까 참과 부의 회색지대라고나 할까요.
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